4.2 Álgebra de Matrices

4.2 Álgebra de Matrices

Definiciones básicasUna matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m reglones (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A. Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en reglón i y columna j se llama aij o Aij. Inicio de página	EjemploAquí es una matriz 4×5. Mueva el ratón sobre las entradas para ver sus nombres. A = 0 1 2 0 3 1/3 -1 10 1/3 2 3 1 0 1 -3 2 1 0 0 1 Inicio de página
Operaciones con matricesTrasposición La matriz traspuesta, AT, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea Auna matiz m×n y B = AT, entonces B es la matriz n×m con bij = aji. Suma, Resta  Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)ij = Aij + Bij. En forma parecida, sus resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A-B)ij = Aij - Bij. Multiplicación escalar Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el múltiple escalar, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)ij = c(Aij). Producto  Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimencionesm×p. La entrada (AB)ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar las resultados. Inicio de página	EjemplosTrasposición   0 1 2 T 1/3 -1 10 = 0 1/3 1 -1 2 10 Suma y múltiple escalar 0 1 1/3 -1 + 2 1 -1 2/3 -2 = 2 -1 5/3 -5 Producto 0 1 1/3 -1 1 -1 2/3 -2 = 2/3 -2 -1/3 5/3 Visite la Herramienta Matriz Álgebra para hacer los computaciones más arriba. Visite también el Tutorial sobre álgebra de matrices para mirar un análisis más detallado de estas operaciones. Inicio de página
Álgebra de matricesLa matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos: Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j. Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero. Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas: A+(B+C) = (A+B)+C Regla asociativa de adición A+B = B+A Regla conmutativa de adición A+O = O+A = A Regla unidad de adición A+( - A) = O = ( - A)+A Regla inversa de adición c(A+B) = cA+cB Regla distributiva (c+d)A = cA+dA Regla distributiva 1A = A Unidad escalar 0A = O Cero escalar A(BC) = (AB)C Regla asociativa de multiplicación AI = IA = A Regla unidad de multiplicación A(B+C) = AB + AC Regla distributiva (A+B)C = AC + BC Regla distributiva OA = AO = O Multiplicación por matriz cero (A+B)T = AT + BT Trasposición de una suma (cA)T = c(AT) Trasposición de un producto escalar (AB)T = BTAT Trasposición de un producto matriz La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general. Inicio de página	EjemplosLa siguiente es la matriz unidad de orden 4×4: I = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 El fallo de la regla conmutativa para el producto entre matrices se muestra por el siguiente ejemplo: A = 0 1 1/3 -1 B = 1 -1 2/3 -2 AB = 2/3 -2 -1/3 5/3 BA = -1/3 2 -2/3 8/3 Inicio de página
Forma matriz de un sistema de ecuaciones linealesUna aplicación importante de multiplicación entre matrices es la siguiente: El sistema de ecuaciones lineales   a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1   a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2    . . . . . . . . . . . . . .   am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm se puede escribir como la ecuación matriz AX = B donde   A = a11 a12 a13 . . . a1n a21 a22 a23 . . . a2n . . . . . . . am1 am2 am3 . . . amn X = [x1, x2, x3, . . . , xn]T y B = [b1, b2, x3, . . . , bm]T Inicio de página	Ejemplo El sistema x + y - z = 4 3x + y - z = 6 x + y - 2z = 4 3x + 2y - z = 9 tiene forma matriz 1 1 -1 x = 4 . 3 1 -1 y 6 1 1 -2 z 4 3 2 -1 9 Inicio de página
Matriz inversaSea A una matriz cuadrada, es decir, una matriz cuyo número de reglones es igual a su número de filas, entonces es posible a veces despejar a X en una ecuación matriz AX = B por "dividir por A." Precisamente, una matriz cuadrada A puede tener una inversa, que se escribe como A-1, con la propiedad AA-1 = A-1A = I. Si A tiene una inversa decimos que A es invertible, si no, decimos que A es singular.En el caso de A invertible, podemos despejar a X en la ecuación AX = B multiplicando ambos lados de la ecuación a la izquierda por A-1, que nos da X = A-1B. Inicio de página	Ejemplo El sistema de ecuaciones 1 2 4 x = 1 2 4 6 y 1 4 6 8 z -1 tiene la solución x = 1 2 4 1 1 y 2 4 6 1 z 4 6 8 -1 = 1 -2 1 1 -2 2 -1/2 1 1 -1/2 0 -1 = -2 . 1/2 1/2 Inicio de página
Determinar si una matriz es invertiblePara determinar si una matriz n×n A es invertible o no, y encontrar A1 si existe, escriba la matriz n×(2n) [A | I] (esta es A con la matriz unidad n×n a su lado). Reduzca esta matriz hasta a la forma escalonada reducida. Si la forma reducida es [I | B] (es decir, tiene la matriz unidad en la parte izquierda), entonces A es invertible y B = A-1. Si no puedes obtener I en la parte izquierda, entonces A es singular. Inicio de página	EjemplosLa matriz A = 1 2 4 2 4 6 4 6 8 es invertible. La matriz B = 1 2 4 2 4 6 2 4 7 es singular. Inicio de página
Inversa de una matriz 2×2La matriz 2×2 A = a b c d es invertible si ad - bc no es cero y es singular si ad - bc = 0. El número ad - bc se llama el determinante de la matriz. Cuando la matriz es invertible su inversa se expresa por la formula A1 = 1 ad - bc d -b . -c a Inicio de página	Ejemplo 1 2 1 = 1 (1)(4) - (2)(3) 4 -2 3 4 -3 1 = -2 1 . 3/2 -1/2 Inicio de página
Aplicación: modelos económicos de insumo-productoUna matriz insumo-producto para una economía da, en su ja columna, las cantidades (en dólares o otra moneda apropiada) del productos de cada sector usado como insumo por sector j (en un año o otra apropiada unidad de tiempo). Da también la producción total de cada sector de la economía durante un año (llamada el vector producción cuando está escrito como una columna). La matriz tecnología es la matriz que se obtiene dividiendo cada columna por la producción total del sector correspondiente. Su ija entrada , el ijo coeficiente tecnología, da el insumo de sector i para producir una unidad de producto del sector j. Un vector demanda es un vector columna que expresa la demanda total desde fuera la economía de los productos de cada sector. Sea A la matriz tecnología, X el vector producción, y D el vector demanda, entonces (I - A)X = D, o X = (I - A)-1D. Estas mismas ecuaciones son válidas si D es un vector que representa cambio de demanda, y X es un vector que representa cambio de producción. Las entradas en una columna de (I - A)-1 representan el cambio en producción de cada sector necesario para satisfacer una unidad de cambio de demanda en el sector que corresponde a aquella columna, tomando en cuenta todos los efectos directos y indirectos.