Definición
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como
sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones
lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que
satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la
matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento
digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación
lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita,
preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra
ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor
equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante,
tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos
seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita 
por ser la de menor coeficiente y que
por ser la de menor coeficiente y que
posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así
en la otra ecuación, para así
obtener una ecuación donde la única incógnita sea la 
.
.
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado 
, y si ahora sustituimos esta incógnita
, y si ahora sustituimos esta incógnita
por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos 
, con lo que el sistema
, con lo que el sistema
queda ya resuelto.
Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en
el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la
parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos
la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos
afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su
, y si ahora sustituimos esta incógnita por su
valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda
, con lo que el sistema queda
ya resuelto.
Método de eliminación por suma o resta
Los siguientes pasos nos facilitan la aplicación del método:
a) Se multiplican los miembros de una o de las dos ecuaciones por una cantidad constante
apropiada para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las
incógnitas.
b) Por suma o resta se elimina una de las incógnitas.
e) Se resuelve la ecuación lineal resultante.
f) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para,
encontrar el valor de la otra incógnita.
Si las ecuaciones del sistema tienen alguna de las incógnitas de igual coeficientes el paso
primero se omite. EJEMPLO:
1. Resolver el sistema
(1) 4x + 6y = -3
(2) 5x + 7y = -2
Multiplicar los miembros de la ecuación (1) por 5 y los de la ecuación (2) por -4; resultando que los coeficientes de "x" se igualan y son de signo contrario.
5(4x + 6y = -3) 20x + 30y = - 15
-4(5x + 7y = -2) -20x - 28y = 8
Sumando algebraicamente ambas ecuaciones, resulta:
20x + 30y = - 15
- 20x - 28y = 8
0 2y = - 7
Resolviendo la ecuación, tenemos: y = - 7/2
Sustituyendo el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene:
(1) 4x + 6(-7/2) = - 3
4x - 21 = - 3
4x = - 3 + 21
x = 18 / 4
x = 9/2
(2) 5(9/2) + 7(-7/2) = - 2
45/2 - 49/2 = -
-4/2 = -2
-2 = -2
Su comprobación es:
4(9/2) + 6(-7/2) = - 3
18-21 = -3
-3 = -3
Por lo tanto los valores que satisfacen al sistema son:
x = 9/2 y y = -7/2
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