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Modulo 2

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4.3.4 Regla de Cramer.

4.3.4 Regla de Cramer.

La regla de Cramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:

 1  El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

 2  El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de Cramer.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Todo sistema de Cramer tiene una sola solución (es decir, es un sistema compatible determinado) que viene dada por las siguientes expresiones:

Δ₁, Δ₂ , Δ₃, ... , Δ_n son los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna, en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

...

Ejemplo

1

2

Como el sistema no es un sistema de Cramer, debemos transformarlo.

Como  , podemos limitarnos a estudiar el sistema:

Estamos ante un sistema con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y con determinante de la matriz de coeficientes distinto de cero. Es decir, estamos ante un sistema de Cramer.

Las soluciones de este sistema de Cramer, que vendrán dadas en función de λ serán las mismas que las del sistema original.

4.3.3 Propiedades de los determinantes.

4.3.3 Propiedades de los determinantes.

 |A^t|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A^t son iguales.

 2  |A| = 0    Si:

Posee dos filas (o columnas) iguales.

Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.

Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras.

F₃ = F₁ + F₂

 3  Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

 4  Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.

 5  Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.

Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía.

 

 6  Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.

 7  Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.

4.3.2 Expansión por cofactores.

4.3.2 Expansión por cofactores.

En esta sección se calcularán determinantes haciendo uso de dos conceptos, el de menor de un determinante y el de cofactor de un elemento.

Se llama menor del elemento  aik de un determinante  D de   al determinante  Mik de orden   que se obtiene al eliminar el renglón  i   y la columna  k de  D.

   

Ejemplo 1.

Obtener los menores  M₁₃   y   M₂₁  del determinante  D  de  .

                       

Para  M₁₃  eliminamos el renglón  1  y la columna  3  para obtener

                         

De la misma forma, se elimina el renglón  2   y la columna  1  para tener

                        

Se  llama cofactor del elemento  aik  del determinante   D,  al menor   Mik  con el  signo     (-1)i+k   y se denota   Aik,  esto es                                                                                       (1)

                              

Ejemplo 2.

Obtenga los cofactores   A₁₃  y  A₂₁   del determinante  D  dado:

      

                       

De acuerdo con la fórmula  (1) el cofactor   A₁₃ está dado por

                       

Y de la misma forma

                  

Expansión por cofactores de un determinante.

 Se puede probar el siguiente

Teorema Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (o columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes. Esto es                                    (2) es el desarrollo del determinante  D  por  el  renglón  i,  y  similarmente                                                                     (3) es el desarrollo del determinante  D  por la columna  k.

Las expresiones  (2)  y  (3)   son fórmulas completamente generales, cualquier determinante de cualquier dimensión se puede evaluar usando estas fórmulas.

Ejemplo 3.

Desarrollar por cofactores del segundo renglón y calcular el valor del determinante  D.

              

Para expandir  D,  por cofactores del segundo renglón,  calculamos primero los cofactores  A₂₁, A₂₂ y A₂₃ de los elementos del segundo renglón.

              

Entonces 

                

Ejemplo 4.

Desarrollar por cofactores de la primera columna y calcular el valor del determinante  D del ejemplo 3 para verificar que obtenemos el mismo valor.

Para expandir por cofactores de la primera columna, primero evaluamos los cofactores  A₁₁, A₂₁, A₃₁ de los elementos de la primera columna:

Entonces

                 

Ejemplo 5.

Considere la matriz  A  y calcule su determinante  det A

                                        

Para evaluar el determinante de A usamos la fórmula  (2)  que permite desarrollar un determinante por cofactores de una columna.  Observe que la primera columna de A consta de tres ceros y un 2.  Desarrollando por la columna  (1) se tiene

                  

Aún falta evaluar el determinante de 3x3,  que desarrollamos por cofactores de la columna 3 porque dos de sus elementos son ceros, entonces